错位排列问题探究：从信封到台阶的数学之旅

问题：五封标号为1～5的信放入五个编号为1～5的信封中，如果信的编号与信封的编号不同，有多少种不同的放法？

更广泛的问题是：如果有n封标号为1～n的信，要放入n个编号为1～n的信封中，且信的编号与信封的编号不同，有多少种不同的放法。数学家欧拉研究过这个问题，使用了构造递推式的方法来解决。

设A、B、C、...代表n个信封，a、b、c、... 代表n份写的信。如果a错误地放入了B中，考虑在这种情况下有多少种错误的放法。我们可以分为两类：第一类是b放入A中；第二类是b不放入A中。

对于第一类情况，剩下的n-2封信的错误放置与A和B无关。设n封信错误放置的总方法数记为f(n)，则在第一类情况下，错误的放置方式有f(n-2)种。

对于第二类情况，这相当于n-1封信的错误放置问题，因此错误放置的方式有f(n-1)种。这样，在a放入B中的情况下，总共有f(n-2)+f(n-1)种错误的放置方式。由于a可以放入B也可以放入C、D...，所以n封信的错误放置方式可以表示为：

接下来，我们要根据这个递推式求出通项公式。已知f(2)=1, f(1)=0，则

可以看到该通项公式是一个级数形式。对于幂级数了解较深的人会知道，当n趋近于无穷大时，括号里面的级数实际上是e的倒数。

现在我们来考虑一个看似简单的问题：一个楼梯有10个台阶，如果规定每一步可以上一个或者两个台阶，有多少种不同的走法？

很多同学看到这个问题，通常会根据登上两个台阶的次数来进行分类，共有以下几种情况：全部用上1个台阶的方式、1次用上2个台阶的方式、2次用上2个台阶的方式、3次用上2个台阶的方式、4次用上2个台阶的方式、5次用上2个台阶的方式。根据这个分类：

推广到n个台阶，我们可以得到以下表达式：

这里的组合数是广义的组合数。例如：

可以看到，这里涉及到无穷级数。如果我们换一种方法来解决这个问题，可以找到答案的另一种表达方式，并探索其中是否存在递推关系。对于登上10个台阶的情况，我们可以这样思考：第一类情况是先登上9个台阶，最后再用上1个台阶的方式完成；第二类情况是先登上8个台阶，最后用上2个台阶的方式完成。

设f(n)表示登上n个台阶的走法总数，那么就有以下递推式：

而且已知f(1)=1, f(2)=2。这与斐波那契数列非常相似，只不过这里的第1项是斐波那契数列的第二项。根据斐波那契数列的通项公式，我们可以写出：

这样我们就得到了一个与前面使用级数形式不同的通项公式。在这个问题中，我们虽然使用了递推式，但没有求出一个可以用n的初等函数表示的式子。

因此，有些级数可能并不对应和函数。这个问题还可以进一步推广，例如：如果规定每一步可以上一个台阶或三个台阶，有多少种不同的走法？此时递推式变为f(n)=f(n-1)+f(n-3)（n>3），它是一个线性递推式，也可以求出通项公式。对此感兴趣的读者可以自行进行推导。

(责任编辑：佚名)